民法では、満15歳に達した者は遺言をすることができると定めています。(民法961条)
つまり、未成年者であっても15歳に達していれば、法律上は遺言能力があるとされますから親の同意等必要なく有効に遺言をすることができるのです。
そして、この遺言能力で実務上問題になるのが、遺言者が遺言書を作成した当時判断能力があったかどうかということです。(つまり、「父はその当時はすでに痴呆症がはいっており遺言なんか作れる状態ではなかった」といったような。)
そもそも、判断能力が衰えた方を法律上は成年被後見人などと言ったりもしますが、成年被後見人だからといって遺言ができないわけではありません。
成年被後見人も当然に遺言をすることはできますが、一定の要件が定められています。
成年被後見人が有効に遺言をするには、成年被後見人が事理を弁識する能力を一時回復したときで、かつ、その際に医師2人以上の立会を必要とします。(民法973条)